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构造辅助函数开题报告范文(精选5篇)
构造辅助函数开题报告范文 第一篇
方法简述：将所证明的表达式 \[\varphi \left( {f'\left( \xi \right),f\left( \xi \right),\xi } \right) = 0\] 看成是微分方程 \[\varphi \left( {f'\left( x \right),f\left( x \right),x} \right) = 0\] ，从中求解F（y,x）=0，然后忽略掉常数项，替换为F(f(x),x)就是我们要找的辅助函数了。
运用该方法，关键在于构造的微分方程比较容易求出f(x)。举个例题，如下：
例3：已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0，求证在(a,b)上有一点 \[\xi \] 使得 \[\frac{{f'\left( \xi \right)}}{{ - 2\xi }} = f\left( \xi \right)\] 。
解析：先将式子进行整理为 \[f'\left( \xi \right) + 2\xi f\left( \xi \right) = 0\] ，那么这是一个很简单的微分方程了 \[\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 0\] 。学过微分方程的应该都会做，分离变量嘛。如下：
\[\begin{array}{l} \frac{1}{y}dy = - 2xdx\\ \int {\frac{1}{y}dy} = \int { - 2xdx} \\ \ln y = - {x^2} + C \end{array}\]
此时我们把常数当做0，就有 \[\ln y = - {x^2}\] ，也就是 \[y = {e^{ - {x^2}}}\] ，进一步得到 \[y{e^{{x^2}}}\] -1=0.那么我们忽略常数项，则 \[F(x) = f\left( x \right){e^{{x^2}}}\] 就是我们要找的辅助函数了。
非常容易验证F(a)=F(b)=0，那么由罗尔定理就有 \[F'(\xi ) = f'\left( \xi \right){e^{{\xi ^2}}} + 2\xi {e^{{\xi ^2}}}f\left( \xi \right) = 0\] ，也就是 \[f'\left( \xi \right) + 2\xi f\left( \xi \right) = 0\] ，整理则题目得证。
构造辅助函数开题报告范文 第二篇
2）观察题目中函数结构,象上面例题中出现过的构造辅助函数讨论方程的根中,就是根据面积关系函数的结构,构造辅助函数的.构造合理的辅助函数才能使问题简化,才能达到我们借助辅助函数解题的意义.
3）逆向思维 象中值定理的证明中,我们可以从要证明的想起,从结果中的隐性条件,结合已知函数结构构造辅助函数,我们想要证明：
我们比较（1）和（2）,很明显他们的结构有很多相似的地方.
【参考文献】
［１］陈传璋,等．数学分析（上、下册）[M]．高等教育出版社,2001,1．
［２］湖南师范学院数学系分析教研组[M]．数学分析习题解答．
［３］赵显曾,等．数学分析的方法与解题[M]．陕西师范大学出版社,2005,9．
［４］邵剑,等．大学数学考研专题复习[M]．浙江大学：科学出版社,2001,7．
［５］龚冬保,等．高等数学典型题解法、技巧、注释[M]．西安交通大学出版社,1996．
［６］同济大学数学教研室．高等数学上、下册(第四版)[M]．北京：高等教育出版社,1996．
［７］李远东,刘庆珍．高等数学的基本理论与方法[M]．重庆：重庆大学出版社,1995．
8 薛嘉庆．高等数学题库精编[M]．沈阳：东北大学出版社,2000．
构造辅助函数开题报告范文 第三篇
上面两种方法不是万能，有时候总有更复杂的辅助函数构造起来很麻烦。根据经验，笔者之前整理了一个罗尔定理常用的辅助函数表格。现在再放一下，如下：
怎么用呢？还是用一道例题来说明。
例4：f(x)与g(x)在(a,b)上可导，且有f(a)=f(b)=0，试证明在(a,b)上存在一点 \[\xi \] ，使得 \[f'\left( \xi \right) + f\left( \xi \right)g'\left( \xi \right) = 0\]
解析：首先微分方程法行不通，因为包含了f(x)和g(x)两个函数，没学过这样的微分方程如何求。再看看用原函数法呢？如下：
\[\begin{array}{l} \int {f'\left( \xi \right) + f\left( \xi \right)g'\left( \xi \right)d\xi } \\ = f\left( \xi \right) + \int {f\left( \xi \right)} dg\left( \xi \right) \end{array}\]
也积不出什么函数出来。
这个时候我们可以使用上面的表格（其实表格不必死记硬背，经常看看有个印象就行）。我们对照下所证表达式，是不是跟第四行的原式那一列非常相像，从而所构造的辅助函数就为F(x)=f(x)*e^g(x)。
因此，我们构造函数F(x)=f(x)*e^g(x)，根据题目易得F(a)=F(b)=0，那么根据罗尔定理就有在(a,b)上存在一点 \[\xi \] 使得 \[F'\left( \xi \right) = 0\] ，即 \[f'\left( \xi \right){e^{g\left( \xi \right)}} + f\left( \xi \right){e^{g\left( \xi \right)}}g'\left( \xi \right) = 0\] ，我们约去 \[{e^{g\left( \xi \right)}}\] ，就得到 \[f'\left( \xi \right) + f\left( \xi \right)g'\left( \xi \right) = 0\] ，题目得证。
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特别说明：具体题目使用哪一种方法呢？没有特别规定的情景，说不定一道题三种方法都行得通。但是这三种方法不是万能的，题目无穷无尽啊，很难找到能够适用于所有题目的方法。
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然而上面的方法虽然不是万能的，但在做题时却能给我们指明方向，带来一些灵感。下面笔者就再举一个例题来说明这种情况吧。
例5：函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，且过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))，其中0\[\xi \] ，使得 \[f''\left( \xi \right) = 0\]
解析：这显然是微分中值定理应用的证明题。直接给答案没多大意义，笔者就专门分析下思路是怎么来的。
解法一：我们使用上面的原函数法来试一试。如下：
\[\begin{array}{l} \int {f''\left( \xi \right)} d\xi = f'\left( \xi \right) + C\\ \int {f'\left( \xi \right) + Cd\xi = f\left( \xi \right)} + C\xi + k \end{array}\]
那么我们可以发现所构造的辅助函数应该为 \[f(x) + cx + k\] 形式。也就是说虽然原函数法没有给出我们具体的辅助函数是什么（因为c和k没法求出），但是给出了我们构造辅助函数的方向，这是相当宝贵的！
好，那么我们的重点就应该看看 \[f(x) + cx + k\] 中的c和k要怎么来找出来。进一步观察辅助函数形式，其实就为f(x)与一条直线的和，因为cx+k就是一条直线啊。那么就给我们一个启示，往题目中的已知条件中来找寻这条直线。显然题目暗示的已经很明显了，就是直线AB。
很容易就求出AB的表达式：y=[f(1)-f(0)]x+f(0)
那么我们所构造的辅助函数就是F(x)=f(x)-y=f(x)- [f(1)-f(0)]x-f(0)
有同学奇怪这么为什么将加号换成了减号呢？在此时的方法中笔者是根据经验来的，往往就是减号（但在同济版高数教材拉格朗日定理证明中有另一番解释，感兴趣者可回看）。即使你在这里按部就班的构造成F(x)=f(x)+y，在下面的分析中会发现还是得回过头将这里的加号改为减号。这里笔者为了篇幅，就直接根据经验来了。
好了，辅助函数找到了。经验告诉我们，题目让证二阶导数点为0，那么势必要两次运用罗尔定理。题目也给出了非常明确的暗示了，就是先在(0,c)上和(c,1)上先分别运用罗尔定理。那么就必须有F(0)=F(c)和F(c)=F(1)，也就是说必须有F(0)=F(c)=F(1)。那么到底有没有呢？我们来验证下。
很容易验证F(0)=F(1)=0。
然而F(c)=f(c)- [f(1)-f(0)]c-f(0)却一时半会判断不出来是否为0。这个时候就有同学开始着急了，觉得是自己想错方向了。别急，也别放弃。因为显然题目中的已知条件你还没用完啊。点C在直线AB上，这个条件你还没用呢！！又这个条件可得[f(1)-f(0)]c=f(c)-f(0)。代入F(c)的表达式，就有F(c)=0.
于是就有F(0)=F(c)=F(1)=0了。
那么我们首先在(0,c)上和(c,1)上各用一次罗尔定理，就有在（0,c）上存在 \[{\xi _1}\] 使得 \[f'\left( {{\xi _1}} \right) = 0\] ，同时在（c,1）上存在 \[{\xi _2}\] 使得 \[f'\left( {{\xi _2}} \right) = 0\] ，那么再在 \[\left( {{\xi _1},{\xi _2}} \right)\] 上运用罗尔定理，就得到在 \[\left( {{\xi _1},{\xi _2}} \right)\] 上有一点 \[\xi \]，使得 \[f''\left( \xi \right) = 0\] ，题目得证。
解法二：有的同学嫌两次利用罗尔定理麻烦，而且如果不会用原函数法来寻找思路方向。那么没关系。我们完全可以根据对题目的深入剖析来得到另一种较好的思路。
我们根据题目中对三点A、B、C的状态描述，来尝试画出f(x)的大概草图。会发现只能如下所示：
那么大家观察这个图，尤其是图中三条平行的红线直线，想到了什么？？熟悉拉格朗日中值定理的几何意义的都会知道，这分明跟拉格朗日中值定理的几何意义图示一模一样啊。
其实再仔细观察思考下，拉格朗日中值定理的几何意义是以A到B为长度来描述的，而且只是表述了存在一根红线与AB平行。然而正如上图所画，实际上是存在两根红线与AB平行的。按照朗格朗日，一根红线可以得到一个 \[\xi \] ，即根据 \[\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = f'(\xi )\] 得到。那么两根红线应该能得到两个 \[\xi \] ，而且还是两个不同的 \[\xi \] 。怎么得到呢？变通下，不再以AB为长度了，分别以AC和CB来做拉格朗日不就行了嘛。而且题目也暗示了很明显了，摆明让我们一C作为分段点来做。
因此我们按照方向，就分别有如下结果：
\[\frac{{f(c) - f(0)}}{{c - 0}} = f'({\xi _1})\]
\[\frac{{f(1) - f(c)}}{{1 - c}} = f'({\xi _2})\]
好了，题目让证明二阶导数点为0，显然应该有 \[f'\left( {{\xi _1}} \right) = f'\left( {{\xi _2}} \right)\] 。那么他俩等于不等于呢？稍加思考就会发现铁定等于啊。因为 \[\frac{{f(c) - f(0)}}{{c - 0}}\] 和 \[\frac{{f(1) - f(c)}}{{1 - c}}\] 表示的都是直线AB的斜率啊，肯定是相等的！！
于是问题已经得到证明了。剩下的步骤我就不写了。
说明：其实问题分析到这个地步，题目的意义已经很明显了，说白了，就是如果二阶导数存在，拉格朗日中值定理中隐含了存在二阶导数为0的点。而题目就是要我们证明这个隐含条件而已，本质上还是属于拉格朗日中值定理的一部分。
构造辅助函数开题报告范文 第四篇
具体方法简述：将要证明的式子整理为 \[\varphi \left( \xi \right) = 0\] （一般不包含分式），然后令 \[F'\left( \xi \right) = \varphi \left( \xi \right)\] ，对两边式子分别积分，则有 \[F\left( \xi \right) = \int {\varphi \left( \xi \right)} d\xi \] ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 \[g'(x) \ne 0\] ，证明：在（a,b）存在 \[\xi \] ，使得 \[\frac{{f\left( \xi \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( \xi \right)}} = \frac{{f'\left( \xi \right)}}{{g'\left( \xi \right)}}\] 。
解析：这是非常常见的一道题。估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：
\[F'(\xi ) = g'(\xi )f(\xi ) + f'(\xi )g(\xi ) - f(a)g'(\xi ) - g(b)f'(\xi )\]
然后我们令：
\[F'(\xi ) = g'(\xi )f(\xi ) + f'(\xi )g(\xi ) - f(a)g'(\xi ) - g(b)f'(\xi )\]
好，对上式两边进行积分，如下：
\[\begin{array}{*{20}{l}} {F(\xi ) = \int {g'(\xi )f(\xi ) + f'(\xi )g(\xi ) - f(a)g'(\xi ) - g(b)f'(\xi )d\xi } }\\ { = \int {f\left( \xi \right)dg(\xi )} + \int {g(\xi )d} f\left( \xi \right) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )}\\ { = f(\xi )g(\xi ) - \int {g\left( \xi \right)} df\left( \xi \right) + \int {g(\xi )d} f\left( \xi \right) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )}\\ { = f(\xi )g(\xi ) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )} \end{array}\]
所以我们要寻找的辅助函数就为：
\[F(x) = f(x)g(x) - f(a)g(x) - g(b)f(x)\]
很容易验证：
\[F(a) = F(b) = - f(a)g(b)\]
于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点 \[\xi \] ，使得 \[F'\left( \xi \right) = 0\] ，也就是：
\[g'(\xi )f(\xi ) + f'(\xi )g'(\xi ) - f(a)g'(\xi ) - g(b)f'(\xi ) = 0\]
整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
注：原函数法特别适合所证式子中包含f(x)和g(x)两个函数的情况。
例2：拉格朗日中值定理的证明。
解析：教材上给出了一种辅助函数的构造方法。其实我们利用原函数法完全可以找到另一种辅助函数。
分析式子 \[\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = f'(\xi )\] ，整理为 \[f'(\xi ) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = 0\] ，两边同时积分，得到 \[F(\xi ) = f(\xi ) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\xi = 0\] 。因此 \[F(x) = f(x) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}x\] 就是我们要找的辅助函数。是不是跟教材上的那个不太一样啊。没关系，我们来验证下。
非常容易验证：
\[F(a) = F(b) = \frac{{bf(a) - af(b)}}{{b - a}}\]
因此满足罗尔定理，拉格朗日得证。
构造辅助函数开题报告范文 第五篇
3）在证明含有两个变量的不等式时,可以把其中的一个当作变量,而另一个当作常数,使问题化为一个变量的函数不等式的证明.
我们再来看看下面例子：
例设b>,a>,e,证明ab>,ba.
分析：所给不等式为幂指数形式,可先两边取对数
由于b>,a>,e
所以ab>,ba等价于blna>,alnb
考察F（x）等于xlna-alnx
若x>,a>,e时,能推知F（x）单调增加,则命题得证.
证：令F（x）等于xlna-xlnb（x>,0）
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